比例的抽样分布

假设我们从给定的 总体中抽取所有可能的n 个 随机样本。进一步假设我们计算每个样本的 比例 。该统计量的 概率分布是该比例的 抽样分布。

抽样分布的形状

当下列条件成立时，可以安全地假设某一比例的抽样分布形状将近似为正态：

• 总体规模（N）至少为样本规模（n）的 10 倍。
• 抽样方法为简单随机抽样。
• n * p ≥ 10，其中 p 是样本比例。
• n*（1-p）≥10。

注意：后两个条件要求从总体中抽取至少 20 个观测值。当样本比例 p 大于 0.5 时，需要更多观测值。

抽样分布的标准差

在规模为N 的总体中，假设某个事件（称为“成功”）发生的概率为 P；事件不发生的概率（称为“失败”）为 Q。假设我们从这个总体中抽取所有可能的规模为n的简单随机样本。最后，假设我们在每个样本中确定成功的比例p和失败的比例q。这样，我们就创建了该比例的抽样分布。

抽样分布的标准差（σp ）由总体比例P、总体大小N和样本大小n确定，如下所示：

σp = sqrt[ PQ/n ] * sqrt[ (N - n ) / (N - 1) ]

当总体规模相对于样本规模非常大时，标准差公式可以近似为：

σp =平方根[ PQ/n ]

在入门统计学教材中，你经常会看到这种“近似”公式。一般来说，当样本量不大于总体规模的 1/20 时，使用近似公式是安全的。

抽样分布的标准误差

通常，我们不知道总体参数 P 的值。而且，如果我们不知道 P，我们就无法计算抽样分布的标准差 (σ p )。

但是，我们知道样本比例 p 和 q。将 p 和 q 代入 σ p方程，我们得到：

SE p = sqrt[ pq/n ] * sqrt[ (N - n ) / (N - 1) ]

在这个等式中，p 是 P 的样本估计值，q 是 Q 的样本估计值，SE p是 σ p 的样本估计值，σ p 是抽样分布的标准差。SE p是样本比例差异的标准误差。

当总体规模相对于样本规模非常大时，标准误差公式可以近似为：

SE p = sqrt[ pq/n ]

在以后的课程中，您将看到，能够从样本数据计算标准误差对于推断统计至关重要。它将使我们能够计算比例的 置信区间 并检验有关比例的假设。

要点总结

本课的要点总结如下。

• 当满足以下条件时，样本比例的抽样分布将呈现正态分布：
  • 总体规模（N）至少为样本规模（n）的 10 倍。
  • 抽样方法为简单随机抽样。
  • n * p ≥ 10，其中 p 是样本比例。
  • n*（1-p）≥10。
• 如果总体规模相对于样本规模较大，则可以根据以下公式计算抽样分布的标准误差：

  SE p = sqrt[ pq/n ]

  如果总体比样本至少大 20 倍，则认为总体“庞大”。